Το Apollonian Gasket είναι ένας τύπος φράκταλ που σχηματίζεται από μια συλλογή συνεχώς συρρικνωμένων κύκλων που περιέχονται σε έναν ενιαίο μεγάλο κύκλο. Κάθε κύκλος στο Απολλώνιο Φλάντζα εφάπτεται στους παρακείμενους κύκλους - με άλλα λόγια, οι κύκλοι στο Απολλώνιο Φλάντζα έρχονται σε επαφή σε απείρως μικρά σημεία. Με το όνομα του Έλληνα μαθηματικού Απολλώνιου της Περγάς, αυτός ο τύπος φράκταλ μπορεί να σχεδιαστεί (με το χέρι ή με υπολογιστή) σε λογικό βαθμό πολυπλοκότητας, σχηματίζοντας μια όμορφη, εντυπωσιακή εικόνα. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε.
Βήματα
Μέρος 1 από 2: Κατανόηση βασικών εννοιών
Για να γίνουμε απόλυτα σαφείς, εάν ενδιαφέρεστε απλά να σχεδιάσετε ένα Απολλώνιο Φλάντζα, δεν είναι απαραίτητο να ερευνήσετε τις μαθηματικές αρχές πίσω από το φράκταλ. Ωστόσο, εάν θέλετε μια βαθύτερη κατανόηση των Apollonian Gaskets, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τους ορισμούς αρκετών εννοιών που θα χρησιμοποιήσουμε κατά τη συζήτησή τους.
Βήμα 1. Ορίστε βασικούς όρους
Οι παρακάτω όροι χρησιμοποιούνται στις παρακάτω οδηγίες:
- Απολλωνιακό παρέμβυσμα: Ένα από τα πολλά ονόματα ενός τύπου φράκταλ που αποτελείται από μια σειρά κύκλων που φωλιάζουν μέσα σε έναν μεγάλο κύκλο και εφάπτονται με όλα τα άλλα κοντινά. Αυτά ονομάζονται επίσης "Soddy Circles" ή "Kissing Circles".
- Ακτίνα κύκλου: Η απόσταση από το κεντρικό σημείο ενός κύκλου στην άκρη του. Συνήθως εκχωρείται η μεταβλητή r.
- Καμπυλότητα κύκλου: Το θετικό ή αρνητικό αντίστροφο της ακτίνας, ή ± 1/r. Η καμπυλότητα είναι θετική όταν αντιμετωπίζουμε την εξωτερική καμπυλότητα του κύκλου και αρνητική για την εσωτερική καμπυλότητα.
- Εφαπτομένη: Ένας όρος που εφαρμόζεται σε γραμμές, επίπεδα και σχήματα που τέμνονται σε ένα απείρως μικρό σημείο. Στις Απολλωνικές Φλάντζες, αυτό αναφέρεται στο γεγονός ότι κάθε κύκλος αγγίζει κάθε κοντινό κύκλο μόνο σε ένα σημείο. Σημειώστε ότι δεν υπάρχει διασταύρωση - τα εφαπτόμενα σχήματα δεν επικαλύπτονται.
Βήμα 2. Κατανοήστε το θεώρημα του Ντεκάρτ
Το Θεώρημα του Ντεκάρτ είναι ένας τύπος που είναι χρήσιμος για τον υπολογισμό των μεγεθών των κύκλων σε ένα Απολλώνιο Φλάντζα. Αν ορίσουμε τις καμπυλότητες (1/r) οποιωνδήποτε τριών κύκλων ως a, b και c, αντίστοιχα, το θεώρημα δηλώνει ότι η καμπυλότητα του κύκλου (ή των κύκλων) εφαπτομένων και των τριών, που θα ορίσουμε ως d, είναι: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Για τους σκοπούς μας, θα χρησιμοποιήσουμε γενικά μόνο την απάντηση που λαμβάνουμε βάζοντας ένα σύμβολο συν μπροστά από την τετραγωνική ρίζα (με άλλα λόγια,… + 2 (sqrt (…)). Προς το παρόν, αρκεί να γνωρίζουμε ότι η αφαίρεση Η μορφή της εξίσωσης έχει τις χρήσεις της σε άλλες συναφείς εργασίες
Μέρος 2 από 2: Κατασκευή της Απολλωνικής φλάντζας
Τα Απολλωνικά Φλάντζες έχουν τη μορφή όμορφων διασκευών φράκταλ που συρρικνώνουν κύκλους. Μαθηματικά, τα Απολλωνικά Φλάντζες έχουν απεριόριστη πολυπλοκότητα, αλλά, είτε χρησιμοποιείτε πρόγραμμα σχεδίασης υπολογιστή είτε παραδοσιακά εργαλεία σχεδίασης, τελικά θα φτάσετε σε ένα σημείο στο οποίο είναι αδύνατο να σχεδιάσετε κύκλους μικρότερους. Σημειώστε ότι όσο πιο συγκεκριμένα σχεδιάζετε τους κύκλους σας, τόσο περισσότερο θα μπορείτε να χωρέσετε στο παρέμβυσμά σας.
Βήμα 1. Συγκεντρώστε τα ψηφιακά ή αναλογικά σας εργαλεία σχεδίασης
Στα παρακάτω βήματα, θα φτιάξουμε το δικό μας απλό Απολλώνιο Φλάντζα. Είναι δυνατό να σχεδιάσετε τα Απολλωνικά Φλάντζες με το χέρι ή στον υπολογιστή. Σε κάθε περίπτωση, θα θέλετε να μπορείτε να σχεδιάζετε τέλεια στρογγυλούς κύκλους. Αυτό είναι αρκετά σημαντικό. Δεδομένου ότι κάθε κύκλος σε ένα Απολλώνιο Φλάντζα είναι απόλυτα εφαπτόμενος με τους κύκλους δίπλα του, οι κύκλοι που είναι ακόμη και ελαφρά διαμορφωμένοι μπορούν να "πετάξουν" το τελικό σας προϊόν.
- Εάν σχεδιάζετε τη φλάντζα σε υπολογιστή, θα χρειαστείτε ένα πρόγραμμα που σας επιτρέπει να σχεδιάζετε εύκολα κύκλους σταθερής ακτίνας από ένα κεντρικό σημείο. Το Gfig, μια επέκταση σχεδίασης διανυσμάτων για το δωρεάν πρόγραμμα επεξεργασίας εικόνας GIMP, μπορεί να χρησιμοποιηθεί, όπως και μια μεγάλη ποικιλία άλλων προγραμμάτων σχεδίασης (ανατρέξτε στην ενότητα υλικών για σχετικούς συνδέσμους). Επίσης, πιθανότατα θα χρειαστείτε μια εφαρμογή αριθμομηχανής και ένα έγγραφο επεξεργαστή κειμένου ή ένα φυσικό σημειωματάριο για τη λήψη σημειώσεων σε καμπυλότητες και ακτίνες.
- Για να σχεδιάσετε τη φλάντζα με το χέρι, θα χρειαστείτε μια αριθμομηχανή (προτείνεται η επιστημονική ή η γραφική παράσταση), ένα μολύβι, μια πυξίδα, ένας χάρακας (κατά προτίμηση μια ζυγαριά με σημάδια χιλιοστών, χαρτί γραφικών και ένα σημειωματάριο για τη λήψη σημειώσεων.
Βήμα 2. Ξεκινήστε με έναν μεγάλο κύκλο
Η πρώτη σας εργασία είναι εύκολη - απλώς σχεδιάστε έναν μεγάλο, τέλεια στρογγυλό κύκλο. Όσο μεγαλύτερος είναι ο κύκλος, τόσο πιο περίπλοκο μπορεί να είναι το παρέμβυσμά σας, οπότε προσπαθήστε να κάνετε έναν κύκλο όσο το χαρτί σας επιτρέπει ή τόσο μεγάλο όσο μπορείτε εύκολα να δείτε σε ένα παράθυρο του προγράμματος σχεδίασης.
Βήμα 3. Δημιουργήστε έναν μικρότερο κύκλο μέσα στο πρωτότυπο, εφαπτόμενο στη μία πλευρά
Στη συνέχεια, σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο μέσα στον πρώτο που είναι μικρότερος από τον αρχικό, αλλά εξακολουθεί να είναι αρκετά μεγάλος. Το ακριβές μέγεθος του δεύτερου κύκλου εξαρτάται από εσάς - δεν υπάρχει σωστό μέγεθος. Ωστόσο, για τους σκοπούς μας, ας σχεδιάσουμε τον δεύτερο κύκλο μας έτσι ώστε να φτάνει ακριβώς στα μισά του μεγάλου εξωτερικού μας κύκλου. Με άλλα λόγια, ας σχεδιάσουμε τον δεύτερο κύκλο μας έτσι ώστε το κεντρικό του σημείο να είναι το μέσο της ακτίνας του μεγάλου κύκλου.
Θυμηθείτε ότι στα Απολλωνικά Φλάντζες, όλοι οι κύκλοι που αγγίζουν εφάπτονται μεταξύ τους. Εάν χρησιμοποιείτε πυξίδα για να σχεδιάσετε τους κύκλους σας με το χέρι, αναδημιουργήστε αυτό το εφέ βάζοντας το αιχμηρό σημείο της πυξίδας στο μέσο της ακτίνας του μεγάλου εξωτερικού κύκλου, προσαρμόζοντας το μολύβι σας έτσι ώστε να αγγίζει την άκρη του μεγάλου κύκλου, στη συνέχεια σχεδιάζοντας τον μικρότερο εσωτερικό κύκλο σας
Βήμα 4. Σχεδιάστε έναν πανομοιότυπο κύκλο "απέναντι" από τον μικρότερο εσωτερικό κύκλο
Στη συνέχεια, ας σχεδιάσουμε έναν άλλο κύκλο απέναντι από τον πρώτο μας. Αυτός ο κύκλος πρέπει να εφάπτεται τόσο στον μεγάλο εξωτερικό κύκλο όσο και στον μικρότερο εσωτερικό κύκλο, πράγμα που σημαίνει ότι οι δύο εσωτερικοί σας κύκλοι θα ακουμπήσουν στο ακριβές μεσαίο σημείο του μεγάλου εξωτερικού κύκλου.
Βήμα 5. Εφαρμόστε το Θεώρημα του Ντεκάρτ για να βρείτε το μέγεθος των επόμενων κύκλων σας
Ας σταματήσουμε να σχεδιάζουμε για μια στιγμή. Τώρα που έχουμε τρεις κύκλους στο παρέμβυσμά μας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα του Ντεκάρτ για να βρούμε την ακτίνα του επόμενου κύκλου που θα σχεδιάσουμε. Θυμηθείτε ότι το Θεώρημα του Ντεκάρτ είναι d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), όπου a, b και c είναι οι καμπυλότητες των τριών εφαπτόμενων κύκλων σας και d είναι η καμπυλότητα του κύκλου που εφάπτεται και στους τρεις. Έτσι, για να βρούμε την ακτίνα του επόμενου κύκλου μας, ας βρούμε την καμπυλότητα καθενός από τους κύκλους που έχουμε μέχρι τώρα, ώστε να μπορέσουμε να βρούμε την καμπυλότητα του επόμενου κύκλου και, στη συνέχεια, να το μετατρέψουμε στην ακτίνα του.
-
Ας ορίσουμε την ακτίνα του εξωτερικού μας κύκλου ως
Βήμα 1. Το Επειδή οι άλλοι κύκλοι βρίσκονται μέσα σε αυτόν, έχουμε να κάνουμε με την εσωτερική καμπυλότητά του (και όχι με την εξωτερική του καμπυλότητα) και, κατά συνέπεια, γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητά του είναι αρνητική. -1/r = -1/1 = -1. Η καμπυλότητα του μεγάλου κύκλου είναι - 1.
-
Οι ακτίνες των μικρότερων κύκλων είναι μισές μεγαλύτερες από αυτές του μεγάλου κύκλου ή, με άλλα λόγια, 1/2. Δεδομένου ότι αυτοί οι κύκλοι αγγίζουν ο ένας τον άλλο και τον μεγάλο κύκλο με την εξωτερική τους άκρη, έχουμε να κάνουμε με την εξωτερική τους καμπυλότητα, οπότε οι καμπυλότητές τους είναι θετικές. 1/(1/2) = 2. Οι καμπυλότητες των μικρότερων κύκλων είναι και οι δύο
Βήμα 2..
-
Τώρα, γνωρίζουμε ότι a = -1, b = 2 και c = 2 για την εξίσωση Θεωρήματος του Ντεκάρτ μας. Ας λύσουμε για d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 2 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Η καμπυλότητα του επόμενου κύκλου μας είναι
Βήμα 3. Το Από 3 = 1/r, η ακτίνα του επόμενου κύκλου μας είναι 1/3.
Βήμα 6. Δημιουργήστε το επόμενο σύνολο κύκλων
Χρησιμοποιήστε την τιμή ακτίνας που μόλις βρήκατε για να σχεδιάσετε τους επόμενους δύο κύκλους σας. Θυμηθείτε ότι αυτά θα είναι εφαπτόμενα στους κύκλους των οποίων τις καμπυλότητες χρησιμοποιήσατε για τα α, β και γ στο Θεώρημα του Ντεκάρτ. Με άλλα λόγια, θα εφάπτονται τόσο στον αρχικό όσο και στον δεύτερο κύκλο. Για να εφάπτονται αυτοί οι κύκλοι και στους τρεις κύκλους, θα πρέπει να τους σχεδιάσετε στους ανοιχτούς χώρους στο επάνω και στο κάτω μέρος της περιοχής μέσα στον μεγάλο αρχικό σας κύκλο.
Θυμηθείτε ότι οι ακτίνες αυτών των κύκλων θα είναι ίσες με το 1/3. Μετρήστε το 1/3 πίσω από την άκρη του εξωτερικού κύκλου και, στη συνέχεια, σχεδιάστε τον νέο σας κύκλο. Θα πρέπει να εφάπτεται και στους τρεις γύρω κύκλους
Βήμα 7. Συνεχίστε με αυτόν τον τρόπο για να συνεχίσετε να προσθέτετε κύκλους
Επειδή είναι φράκταλ, τα Απολλωνικά Φλάντζες είναι απείρως πολύπλοκα. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να προσθέσετε όλο και μικρότερους κύκλους στο περιεχόμενο της καρδιάς σας. Είστε περιορισμένος μόνο με την ακρίβεια των εργαλείων σας (ή, εάν χρησιμοποιείτε υπολογιστή, τη δυνατότητα του προγράμματος σχεδίασης να "μεγεθύνει"). Κάθε κύκλος, όσο μικρός κι αν είναι, θα πρέπει να εφάπτεται σε άλλους τρεις κύκλους. Για να σχεδιάσετε κάθε επόμενο κύκλο στο παρέμβυσμά σας, συνδέστε τις καμπυλότητες των τριών κύκλων στους οποίους θα εφάπτεται στο Θεώρημα του Ντεκάρτ. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε την απάντησή σας (η οποία θα είναι η ακτίνα του νέου σας κύκλου) για να σχεδιάσετε με ακρίβεια τον νέο σας κύκλο.
- Σημειώστε ότι το παρέμβυσμα που επιλέξαμε να σχεδιάσουμε είναι συμμετρικό, οπότε η ακτίνα ενός κύκλου είναι ίδια με τον αντίστοιχο κύκλο "απέναντί του". Ωστόσο, να ξέρετε ότι δεν είναι κάθε Απολλώνιο Φλάντζα συμμετρικό.
-
Ας ασχοληθούμε με ένα ακόμη παράδειγμα. Ας πούμε ότι, αφού σχεδιάσουμε το τελευταίο μας σύνολο κύκλων, θέλουμε τώρα να σχεδιάσουμε τους κύκλους που είναι εφαπτόμενοι στο τρίτο σετ, στο δεύτερο σετ και στον μεγάλο εξωτερικό μας κύκλο. Οι καμπυλότητες αυτών των κύκλων είναι 3, 2 και -1, αντίστοιχα. Ας συνδέσουμε αυτούς τους αριθμούς στο Θεώρημα του Ντεκάρτ, θέτοντας a = -1, b = 2 και c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Έχουμε δύο απαντήσεις! Ωστόσο, επειδή γνωρίζουμε ότι ο νέος μας κύκλος θα είναι μικρότερος από οποιονδήποτε από τους κύκλους στους οποίους εφάπτεται, μόνο μια καμπυλότητα
Βήμα 6. (και συνεπώς μια ακτίνα του 1/6) βγάζει νόημα.
- Η άλλη απάντησή μας, 2, αναφέρεται στην πραγματικότητα στον υποθετικό κύκλο στην άλλη πλευρά του εφαπτομένου σημείου του δεύτερου και του τρίτου κύκλου μας. Αυτός ο κύκλος είναι εφαπτόμενο και στους δύο αυτούς κύκλους και στον μεγάλο εξωτερικό κύκλο, αλλά θα τέμνει τους κύκλους που έχουμε ήδη σχεδιάσει, ώστε να τον αγνοήσουμε.
Βήμα 8. Για μια πρόκληση, δοκιμάστε να φτιάξετε ένα μη συμμετρικό απολλωνικό παρέμβυσμα αλλάζοντας το μέγεθος του δεύτερου κύκλου σας
Όλα τα Απολλωνικά Φλάντζα ξεκινούν το ίδιο - με έναν μεγάλο εξωτερικό κύκλο που λειτουργεί ως το άκρο του φράκταλ. Ωστόσο, δεν υπάρχει κανένας λόγος ότι ο δεύτερος κύκλος σας πρέπει απαραίτητα να έχει το 1/2 της ακτίνας του πρώτου - απλώς επιλέξαμε να το κάνουμε παραπάνω γιατί είναι απλό και εύκολο να το καταλάβουμε. Για διασκέδαση, δοκιμάστε να ξεκινήσετε ένα νέο παρέμβυσμα με δεύτερο κύκλο διαφορετικού μεγέθους - αυτό θα οδηγήσει σε συναρπαστικούς νέους δρόμους εξερεύνησης.
