Πώς να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση: 10 βήματα (με εικόνες)

2024 Συγγραφέας: Robert Blare | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-02-02 02:06

Κατά τη γραφική παράσταση, τετραγωνικές εξισώσεις της μορφής τσεκούρι² + bx + c ή α (x - h)² + κ δώστε μια ομαλή καμπύλη σχήματος U ή μια αντίστροφη καμπύλη σχήματος U που ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι θέμα εύρεσης της κορυφής, της κατεύθυνσής της και, συχνά, των παρεμβολών x και y. Στις περιπτώσεις σχετικά απλών τετραγωνικών εξισώσεων, μπορεί επίσης να είναι αρκετό να συνδέσετε ένα εύρος τιμών x και να σχεδιάσετε μια καμπύλη με βάση τα σημεία που προκύπτουν. Δείτε το Βήμα 1 παρακάτω για να ξεκινήσετε.

Βήματα

Βήμα 1. Προσδιορίστε ποια μορφή τετραγωνικής εξίσωσης έχετε

Η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να γραφτεί σε τρεις διαφορετικές μορφές: την τυπική μορφή, τη μορφή κορυφής και την τετραγωνική μορφή. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιαδήποτε φόρμα για να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση. η διαδικασία για τη γραφική παράσταση του καθενός είναι ελαφρώς διαφορετική. Εάν κάνετε πρόβλημα στο σπίτι, συνήθως θα λάβετε το πρόβλημα σε μία από αυτές τις δύο μορφές - με άλλα λόγια, δεν θα μπορείτε να επιλέξετε, οπότε είναι καλύτερο να καταλάβετε και τα δύο. Οι δύο μορφές τετραγωνικής εξίσωσης είναι:

• Τυπική φόρμα.

  Σε αυτή τη μορφή, η τετραγωνική εξίσωση γράφεται ως: f (x) = ax² + bx + c όπου τα a, b και c είναι πραγματικοί αριθμοί και το a δεν είναι ίσο με το μηδέν.

  Για παράδειγμα, δύο τυπικές τετραγωνικές εξισώσεις είναι f (x) = x² + 2x + 1 και f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vertex μορφή.

  Σε αυτή τη μορφή, η τετραγωνική εξίσωση γράφεται ως: f (x) = a (x - h)² + k όπου a, h και k είναι πραγματικοί αριθμοί και το a δεν ισούται με μηδέν. Η μορφή Vertex ονομάζεται έτσι επειδή τα h και k σας δίνουν απευθείας την κορυφή (κεντρικό σημείο) της παραβολής σας στο σημείο (h, k).

  Δύο εξισώσεις μορφής κορυφής είναι f (x) = 9 (x - 4)² + 18 και -3 (x - 5)² + 1

• Για να γράψουμε έναν από αυτούς τους τύπους εξισώσεων, πρέπει πρώτα να βρούμε την κορυφή της παραβολής, η οποία είναι το κεντρικό σημείο (h, k) στο "άκρο" της καμπύλης. Οι συντεταγμένες της κορυφής σε τυπική μορφή δίνονται από: h = -b/2a και k = f (h), ενώ στη μορφή κορυφής, h και k καθορίζονται στην εξίσωση.

Βήμα 2. Ορίστε τις μεταβλητές σας

Για να μπορέσετε να λύσετε ένα τετραγωνικό πρόβλημα, οι μεταβλητές a, b και c (ή a, h και k) συνήθως πρέπει να οριστούν. Ένα μέσο πρόβλημα άλγεβρας θα σας δώσει μια τετραγωνική εξίσωση με τις μεταβλητές που συμπληρώθηκαν, συνήθως σε τυπική μορφή, αλλά μερικές φορές σε μορφή κορυφής.

• Για παράδειγμα, για την τυπική μορφή εξίσωση f (x) = 2x² + 16x + 39, έχουμε a = 2, b = 16 και c = 39.
• Για την κορυφή εξίσωση f (x) = 4 (x - 5)² + 12, έχουμε a = 4, h = 5 και k = 12.

Βήμα 3. Υπολογίστε h

Στις εξισώσεις μορφής κορυφής, η τιμή σας για το h είναι ήδη δεδομένη, αλλά στις εξισώσεις τυπικής μορφής, πρέπει να υπολογιστεί. Θυμηθείτε ότι, για εξισώσεις τυπικής μορφής, h = -b/2a.

• Στην τυπική μας μορφή παράδειγμα (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Λύνοντας, βρίσκουμε ότι h = - 4.
• Στο παράδειγμα της κορυφής μας (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), γνωρίζουμε h = 5 χωρίς να κάνουμε μαθηματικά.

Βήμα 4. Υπολογίστε k

Όπως και με το h, το k είναι ήδη γνωστό σε εξισώσεις μορφής κορυφής. Για τυπικές εξισώσεις μορφής, θυμηθείτε ότι k = f (h). Με άλλα λόγια, μπορείτε να βρείτε το k αντικαθιστώντας κάθε παρουσία του x στην εξίσωση σας με την τιμή που μόλις βρήκατε για το h.

• Έχουμε προσδιορίσει στην τυπική μας μορφή παραδείγματος ότι h = -4. Για να βρούμε το k, λύνουμε την εξίσωση με την τιμή μας για h αντικαθιστώντας το x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Βήμα 7.

• Στο παράδειγμα φόρμας κορυφής, πάλι, γνωρίζουμε την τιμή του k (που είναι 12) χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε μαθηματικά.

Βήμα 5. Σχεδιάστε την κορυφή σας

Η κορυφή της παραβολής σας θα είναι το σημείο (h, k) - το h καθορίζει τη συντεταγμένη x, ενώ το k καθορίζει τη συντεταγμένη y. Η κορυφή είναι το κεντρικό σημείο της παραβολής σας - είτε το κάτω μέρος ενός "U" είτε το πάνω μέρος ενός ανάποδου "U." Η γνώση της κορυφής είναι ένα ουσιαστικό μέρος της γραφής μιας ακριβούς παραβολής - συχνά, στις σχολικές εργασίες, ο προσδιορισμός της κορυφής θα είναι ένα απαραίτητο μέρος μιας ερώτησης.

• Στο παράδειγμα της τυπικής φόρμας, η κορυφή μας θα είναι στο (-4, 7). Έτσι, η παραβολή μας θα κορυφώσει 4 διαστήματα στα αριστερά του 0 και 7 διαστημάτων παραπάνω (0, 0). Θα πρέπει να σχεδιάσουμε αυτό το σημείο στο γράφημα μας, φροντίζοντας να επισημάνουμε συντεταγμένες.
• Στο παράδειγμα φόρμας κορυφής, η κορυφή μας βρίσκεται στο (5, 12). Θα πρέπει να σχεδιάσουμε ένα σημείο 5 διαστήματα στα δεξιά και 12 διαστήματα πάνω (0, 0).

Βήμα 6. Σχεδιάστε τον άξονα της παραβολής (προαιρετικά)

Ο άξονας συμμετρίας μιας παραβολής είναι η γραμμή που διατρέχει τη μέση της και την χωρίζει τέλεια στο μισό. Σε αυτόν τον άξονα, η αριστερή πλευρά της παραβολής θα αντικατοπτρίζει τη δεξιά πλευρά. Για τετραγωνικά της μορφής ax² + bx + c ή a (x - h)² + k, ο άξονας είναι μια γραμμή παράλληλη με τον άξονα y (με άλλα λόγια, απόλυτα κατακόρυφη) και διέρχεται από την κορυφή.

Στην περίπτωση του παραδείγματος τυπικής φόρμας, ο άξονας είναι μια γραμμή παράλληλη προς τον άξονα y και διέρχεται από το σημείο (-4, 7). Αν και δεν είναι μέρος της ίδιας της παραβολής, η ελαφριά σήμανση αυτής της γραμμής στο γράφημα σας μπορεί τελικά να σας βοηθήσει να δείτε πώς η παραβολή καμπυλώνει συμμετρικά

Βήμα 7. Βρείτε την κατεύθυνση ανοίγματος

Αφού καταλάβουμε την κορυφή και τον άξονα της παραβολής, πρέπει στη συνέχεια να γνωρίζουμε αν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Ευτυχώς, αυτό είναι εύκολο. Εάν το "α" είναι θετικό, η παραβολή θα ανοίξει προς τα πάνω, ενώ αν "α" είναι αρνητική, η παραβολή θα ανοίξει προς τα κάτω (δηλαδή, θα ανατραπεί).

• Για την τυπική μας μορφή παραδείγματος (f (x) = 2x² + 16x + 39), γνωρίζουμε ότι έχουμε μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω γιατί, στην εξίσωση μας, a = 2 (θετικό).
• Για το παράδειγμα της κορυφής μας (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), γνωρίζουμε ότι έχουμε επίσης μια παραβολή που ανοίγει προς τα πάνω επειδή a = 4 (θετικό).

Βήμα 8. Εάν είναι απαραίτητο, βρείτε και σχεδιάστε x παρεμβολές

Συχνά, στις σχολικές εργασίες, θα σας ζητηθεί να βρείτε τις παρεμβολές x παραβολής (οι οποίες είναι είτε ένα είτε δύο σημεία όπου η παραβολή συναντά τον άξονα x). Ακόμα κι αν δεν θα τα βρείτε, αυτά τα δύο σημεία μπορεί να είναι ανεκτίμητα για να σχεδιάσετε μια ακριβή παραβολή. Ωστόσο, δεν έχουν όλες οι παραβολές x-intercepts. Εάν η παραβολή σας έχει κορυφή ανοίγει προς τα πάνω και έχει κορυφή πάνω από τον άξονα x ή εάν ανοίγει προς τα κάτω και έχει κορυφή κάτω από τον άξονα x, δεν θα έχει x παρεμβολές Το Διαφορετικά, λύστε τις παρεμβολές x με μία από τις ακόλουθες μεθόδους:

• Απλώς ορίστε f (x) = 0 και λύστε την εξίσωση. Αυτή η μέθοδος μπορεί να λειτουργήσει για απλές τετραγωνικές εξισώσεις, ειδικά σε μορφή κορυφής, αλλά θα αποδειχθεί εξαιρετικά δύσκολη για πιο περίπλοκες. Δείτε παρακάτω ένα παράδειγμα

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 και 13 είναι οι παρεμβολές x της παραβολής.

• Προσδιορίστε την εξίσωση σας. Μερικές εξισώσεις στο τσεκούρι² Η μορφή + bx + c μπορεί εύκολα να ληφθεί υπόψη στη μορφή (dx + e) (fx + g), όπου dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, και e × g = c Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρεμβάσεις σας x είναι οι τιμές για το x που κάνουν κάθε όρο σε παρένθεση = 0. Για παράδειγμα:

  • Χ² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Σε αυτήν την περίπτωση, η μόνη x διασταύρωση είναι -1, επειδή η ρύθμιση x ίση με -1 θα κάνει έναν από τους δύο παράγοντες που παρέχονται στην παρένθεση να είναι ίσος με 0.

• Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο. Εάν δεν μπορείτε να λύσετε εύκολα για τις διασταυρώσεις x ή να συντελέσετε την εξίσωση σας, χρησιμοποιήστε μια ειδική εξίσωση που ονομάζεται τετραγωνικός τύπος που έχει σχεδιαστεί για αυτόν ακριβώς τον σκοπό. Εάν δεν είναι ήδη, εισάγετε την εξίσωση σας στο άξονα φόρμας² + bx + c, στη συνέχεια συνδέστε τα a, b και c στον τύπο x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Σημειώστε ότι αυτό σας δίνει συχνά δύο απαντήσεις για το x, το οποίο είναι εντάξει - αυτό σημαίνει απλώς ότι η παραβολή σας έχει δύο x παρεμβολές. Δείτε παρακάτω ένα παράδειγμα:

  • -5x² Το + 1x + 10 συνδέεται στον τετραγωνικό τύπο ως εξής:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13,18/-10) και (-15,18/-10). Οι παρεμβολές της παραβολής x είναι περίπου x = - 1.318 και 1.518
  • Το προηγούμενο τυπικό παράδειγμα φόρμας μας, 2x² Το + 16x + 39 συνδέεται στον τετραγωνικό τύπο ως εξής:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Επειδή η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας ενός αρνητικού αριθμού είναι αδύνατη, το γνωρίζουμε χωρίς χ παρεμβολές υπάρχουν για τη συγκεκριμένη παραβολή.

Βήμα 9. Εάν είναι απαραίτητο, βρείτε και σχεδιάστε την υποκλοπή y

Παρόλο που συχνά δεν είναι απαραίτητο να βρεθεί η διασταύρωση y μιας εξίσωσης (το σημείο στο οποίο η παραβολή περνάει από τον άξονα y), μπορεί τελικά να σας ζητηθεί, ειδικά εάν είστε στο σχολείο. Αυτή η διαδικασία είναι αρκετά εύκολη - απλώς ορίστε x = 0 και, στη συνέχεια, λύστε την εξίσωση για f (x) ή y, η οποία σας δίνει την τιμή y στην οποία η παραβολή σας περνάει από τον άξονα y. Σε αντίθεση με τις υποκλοπές x, οι τυπικές παραβολές μπορούν να έχουν μόνο μία υποκλοπή y. Σημείωση - για τυπικές εξισώσεις μορφής, η διακοπή y είναι στο y = c.

• Για παράδειγμα, γνωρίζουμε την τετραγωνική μας εξίσωση 2x² Το + 16x + 39 έχει μια εγκοπή y στο y = 39, αλλά μπορεί επίσης να βρεθεί ως εξής:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Η παρεμβολή y της παραβολής είναι στο y = 39.

    Όπως σημειώθηκε παραπάνω, η διακοπή y είναι στο y = c.

• Η κορυφή μας σχηματίζει την εξίσωση 4 (x - 5)² Το + 12 έχει μια διακοπή y που μπορεί να βρεθεί ως εξής:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Η παρακράτηση y της παραβολής είναι στο y = 112.

Βήμα 10. Εάν είναι απαραίτητο, σχεδιάστε επιπλέον σημεία και, στη συνέχεια, γράψτε το γράφημα

Θα πρέπει τώρα να έχετε μια κορυφή, κατεύθυνση, x διασταύρωση (ες) και, ενδεχομένως, ένα κόψιμο y για την εξίσωση σας. Σε αυτό το σημείο, μπορείτε είτε να επιχειρήσετε να σχεδιάσετε την παραβολή σας χρησιμοποιώντας τα σημεία που έχετε ως κατευθυντήρια γραμμή, είτε μπορείτε να βρείτε περισσότερα σημεία για να "συμπληρώσετε" την παραβολή σας, έτσι ώστε η καμπύλη που σχεδιάζετε να είναι πιο ακριβής. Ο ευκολότερος τρόπος για να το κάνετε αυτό είναι απλά να συνδέσετε μερικές τιμές x σε κάθε πλευρά της κορυφής σας και, στη συνέχεια, να σχεδιάσετε αυτά τα σημεία χρησιμοποιώντας τις τιμές y που λαμβάνετε. Συχνά, οι δάσκαλοι θα σας ζητήσουν να λάβετε έναν ορισμένο αριθμό πόντων προτού σχεδιάσετε την παραβολή σας.

• Ας επανεξετάσουμε την εξίσωση x² + 2x + 1. Γνωρίζουμε ήδη ότι η μόνη διασταύρωση x είναι στο x = -1. Επειδή αγγίζει μόνο την εγκοπή x σε ένα σημείο, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η κορυφή της είναι η τομή της, που σημαίνει ότι η κορυφή της είναι (-1, 0). Έχουμε ουσιαστικά μόνο ένα σημείο για αυτήν την παραβολή - όχι αρκετά για να αντλήσουμε μια καλή παραβολή. Ας βρούμε μερικά ακόμη για να διασφαλίσουμε ότι σχεδιάζουμε ένα ακριβές γράφημα.

  • Ας βρούμε τις τιμές y για τις ακόλουθες τιμές x: 0, 1, -2 και -3.
  • Για 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Το σημείο μας είναι (0, 1).

  • Για 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Το σημείο μας είναι (1, 4).

  • Για -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Το σημείο μας είναι (-2, 1).

  • Για -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Το σημείο μας είναι (-3, 4).

  • Σχεδιάστε αυτά τα σημεία στο γράφημα και σχεδιάστε την καμπύλη σας σε σχήμα U. Σημειώστε ότι η παραβολή είναι απόλυτα συμμετρική - όταν τα σημεία σας στη μία πλευρά της παραβολής βρίσκονται σε ακέραιους αριθμούς, μπορείτε συνήθως να εξοικονομήσετε κάποια εργασία, απλά αντανακλώντας ένα δεδομένο σημείο στον άξονα συμμετρίας της παραβολής για να βρείτε το αντίστοιχο σημείο στην άλλη πλευρά της παραβολής.

Βίντεο - Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία, ορισμένες πληροφορίες ενδέχεται να κοινοποιηθούν στο YouTube

Συμβουλές

• Σημειώστε ότι στο f (x) = ax² + bx + c, αν b ή c ισούται με μηδέν, αυτοί οι αριθμοί εξαφανίζονται. Για παράδειγμα, 12x² + 0x + 6 γίνεται 12x² + 6 επειδή το 0x είναι 0.
• Στρογγυλοποιήστε αριθμούς ή χρησιμοποιήστε κλάσματα όπως σας λέει ο δάσκαλος άλγεβρας. Αυτό θα σας βοηθήσει να γράψετε σωστά τις τετραγωνικές σας εξισώσεις.