Η παραβολή είναι μια γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης και είναι μια ομαλή καμπύλη σχήματος "U". Οι παραβολές είναι επίσης συμμετρικές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να διπλωθούν κατά μήκος μιας γραμμής, έτσι ώστε όλα τα σημεία στη μία πλευρά της γραμμής αναδίπλωσης να συμπίπτουν με τα αντίστοιχα σημεία στην άλλη πλευρά της γραμμής αναδίπλωσης. Η γραμμή αναδίπλωσης, που ονομάζεται άξονας συμμετρίας, είναι η κάθετη γραμμή που διέρχεται από το verex. Οποιοδήποτε σημείο της παραβολής βρίσκεται σε ίση απόσταση από ένα σταθερό σημείο (η εστίαση) και μια σταθερή ευθεία (η ευθεία). Για να γράψετε μια παραβολή, πρέπει να βρείτε την κορυφή της καθώς και πολλά σημεία εκατέρωθεν της κορυφής για να σημειώσετε τη διαδρομή που διανύουν τα σημεία.
Βήματα
Μέρος 1 από 2: Γραφική παράσταση παραβολής
Βήμα 1. Κατανοήστε τα μέρη μιας παραβολής
Μπορεί να σας δοθούν ορισμένες πληροφορίες πριν ξεκινήσετε και η γνώση της ορολογίας θα σας βοηθήσει να αποφύγετε τυχόν περιττά βήματα. Ακολουθούν τα μέρη της παραβολής που πρέπει να γνωρίζετε:
- Η εστίαση. Ένα σταθερό σημείο στο εσωτερικό της παραβολής που χρησιμοποιείται για τον επίσημο ορισμό της καμπύλης.
- Ο διευθυντής. Μια σταθερή, ευθεία γραμμή. Η παραβολή είναι ο τόπος (σειρά) των σημείων στα οποία κάθε δεδομένο σημείο είναι ίσης απόστασης από την εστίαση και τον άξονα. (Δείτε το παραπάνω διάγραμμα.)
- Ο άξονας συμμετρίας. Αυτή είναι μια ευθεία που περνάει από το σημείο καμπής («κορυφή») της παραβολής και απέχει ίση απόσταση από αντίστοιχα σημεία στους δύο βραχίονες της παραβολής.
- Η κορυφή. Το σημείο όπου ο άξονας συμμετρίας διασχίζει την παραβολή ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Εάν η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω ή προς τα δεξιά, η κορυφή είναι ένα ελάχιστο σημείο της καμπύλης. Εάν ανοίξει προς τα κάτω ή προς τα αριστερά, η κορυφή είναι ένα μέγιστο σημείο.
Βήμα 2. Γνωρίστε την εξίσωση μιας παραβολής
Η γενική εξίσωση μιας παραβολής είναι y = ax2+ bx + c Μπορεί επίσης να γραφτεί με την ακόμη πιο γενική μορφή y = a (x - h) ² + k, αλλά θα επικεντρωθούμε εδώ στην πρώτη μορφή της εξίσωσης.
- Εάν ο συντελεστής α στην εξίσωση είναι θετικός, η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω (σε κάθετα προσανατολισμένη παραβολή), όπως το γράμμα "U", και η κορυφή της είναι ένα ελάχιστο σημείο. Εάν το α είναι αρνητικό, η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω και έχει μια κορυφή στο μέγιστο σημείο της. Αν δυσκολεύεστε να το θυμηθείτε, σκεφτείτε το με αυτόν τον τρόπο: μια εξίσωση με θετική τιμή μοιάζει με χαμόγελο. μια εξίσωση με μια αρνητική τιμή μοιάζει με ένα συνοφρυωμένο βλέμμα.
- Ας υποθέσουμε ότι έχετε την ακόλουθη εξίσωση: y = 2x2 -1. Αυτή η παραβολή θα έχει σχήμα "U" επειδή η τιμή (2) είναι θετική.
- Εάν η εξίσωση έχει έναν τετραγωνικό όρο y αντί για έναν τετραγωνικό όρο x, η παραβολή θα προσανατολιστεί οριζόντια και θα ανοίξει πλάγια, δεξιά ή αριστερά, όπως ένα "C" ή ένα "C" προς τα πίσω. Για παράδειγμα, η παραβολή y2 = x + 3 ανοίγει δεξιά, σαν "C."
Βήμα 3. Βρείτε τον άξονα συμμετρίας
Θυμηθείτε ότι ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία που διέρχεται από το σημείο καμπής (κορυφή) της παραβολής. Στην περίπτωση κάθετης παραβολής (ανοίγοντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω), ο άξονας είναι ο ίδιος με τη συντεταγμένη x της κορυφής, που είναι η τιμή x του σημείου όπου ο άξονας συμμετρίας διασχίζει την παραβολή. Για να βρείτε τον άξονα συμμετρίας, χρησιμοποιήστε αυτόν τον τύπο: x = -b/2a.
- Στο παραπάνω παράδειγμα (y = 2x² -1), a = 2 και b = 0. Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε τον άξονα συμμετρίας συνδέοντας τους αριθμούς: x = -0 / (2) (2) = 0.
- Σε αυτή την περίπτωση ο άξονας συμμετρίας είναι x = 0 (που είναι ο άξονας y του επιπέδου συντεταγμένων).
Βήμα 4. Βρείτε την κορυφή
Μόλις γνωρίζετε τον άξονα συμμετρίας, μπορείτε να συνδέσετε αυτήν την τιμή για το x για να λάβετε τη συντεταγμένη y. Αυτές οι δύο συντεταγμένες θα σας δώσουν την κορυφή της παραβολής. Σε αυτήν την περίπτωση, θα συνδέσετε το 0 σε 2x2 -1 για να πάρετε τη συντεταγμένη y. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Η κορυφή είναι (0, -1) και η παραβολή διασχίζει τον άξονα y στο -1.
Οι συντεταγμένες της κορυφής είναι μερικές φορές γνωστές ως (h, k). Σε αυτή την περίπτωση το h είναι 0 και το k είναι -1. Η εξίσωση για την παραβολή μπορεί να γραφτεί με τη μορφή y = a (x - h) ² + k. Σε αυτήν τη μορφή, η κορυφή είναι το σημείο (h, k) και δεν χρειάζεται να κάνετε μαθηματικά για να βρείτε την κορυφή πέρα από την σωστή ερμηνεία του γραφήματος
Βήμα 5. Δημιουργήστε έναν πίνακα με τις επιλεγμένες τιμές x
Δημιουργήστε έναν πίνακα με συγκεκριμένες τιμές x στην πρώτη στήλη. Αυτός ο πίνακας θα σας δώσει τις συντεταγμένες που χρειάζεστε για να γράψετε την εξίσωση.
- Η μέση τιμή του x θα πρέπει να είναι ο άξονας συμμετρίας στην περίπτωση μιας «κάθετης» παραβολής.
- Θα πρέπει να συμπεριλάβετε τουλάχιστον δύο τιμές πάνω και κάτω από τη μέση τιμή για το x στον πίνακα για λόγους συμμετρίας.
- Σε αυτό το παράδειγμα, τοποθετήστε την τιμή του άξονα συμμετρίας (x = 0) στη μέση του πίνακα.
Βήμα 6. Υπολογίστε τις τιμές των αντίστοιχων συντεταγμένων y
Αντικαταστήστε κάθε τιμή του x στην εξίσωση της παραβολής και υπολογίστε τις αντίστοιχες τιμές του y. Εισάγετε αυτές τις υπολογισμένες τιμές του y στον πίνακα. Σε αυτό το παράδειγμα, οι τιμές του y υπολογίζονται ως εξής:
- Για x = -2, το y υπολογίζεται ως: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Για x = -1, το y υπολογίζεται ως: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Για x = 0, το y υπολογίζεται ως: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Για x = 1, το y υπολογίζεται ως: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Για x = 2, το y υπολογίζεται ως: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Βήμα 7. Εισάγετε τις υπολογισμένες τιμές του y στον πίνακα
Τώρα που βρήκατε τουλάχιστον πέντε ζεύγη συντεταγμένων για την παραβολή, είστε σχεδόν έτοιμοι να το γράψετε. Με βάση τη δουλειά σας, έχετε τώρα τα ακόλουθα σημεία: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Θυμηθείτε ότι η παραβολή αντανακλάται (συμμετρικά) σε σχέση με τον άξονα συμμετρίας. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες y των σημείων απευθείας στον άξονα συμμετρίας μεταξύ τους θα είναι οι ίδιες. Οι συντεταγμένες y για τις συντεταγμένες x -2 και +2 είναι και οι δύο 7. οι συντεταγμένες y για τις συντεταγμένες x -1 και +1 είναι και οι δύο 1 και ούτω καθεξής.
Βήμα 8. Σχεδιάστε τα σημεία του πίνακα στο επίπεδο συντεταγμένων
Κάθε σειρά του πίνακα σχηματίζει ένα ζεύγος συντεταγμένων (x, y) στο επίπεδο συντεταγμένων. Γράψτε όλα τα σημεία χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες που δίνονται στον πίνακα.
- Ο άξονας x είναι οριζόντιος. ο άξονας y είναι κάθετος.
- Οι θετικοί αριθμοί στον άξονα y είναι πάνω από το σημείο (0, 0) και οι αρνητικοί αριθμοί στον άξονα y είναι κάτω από το σημείο (0, 0).
- Οι θετικοί αριθμοί στον άξονα x βρίσκονται στα δεξιά του σημείου (0, 0) και οι αρνητικοί αριθμοί στον άξονα x βρίσκονται στα αριστερά του σημείου (0, 0).
Βήμα 9. Συνδέστε τα σημεία
Για να γράψετε την παραβολή, συνδέστε τα σημεία που σχεδιάστηκαν στο προηγούμενο βήμα. Το γράφημα σε αυτό το παράδειγμα θα μοιάζει με ένα U. Συνδέστε τα σημεία χρησιμοποιώντας ελαφρώς καμπύλες (και όχι ευθείες) γραμμές. Αυτό θα δημιουργήσει την πιο ακριβή εικόνα της παραβολής (η οποία είναι τουλάχιστον ελαφρώς καμπύλη σε όλο το μήκος της). Και στα δύο άκρα της παραβολής μπορείτε να σχεδιάσετε βέλη που δείχνουν μακριά από την κορυφή, αν θέλετε. Αυτό θα δείξει ότι η παραβολή συνεχίζεται επ 'αόριστον.
Μέρος 2 από 2: Μετατόπιση του γραφήματος μιας παραβολής
Εάν θέλετε μια συντόμευση για τη μετατόπιση μιας παραβολής χωρίς να χρειαστεί να βρείτε ξανά την κορυφή της και να σχεδιάσετε ξανά πολλά σημεία σε αυτήν, θα πρέπει να καταλάβετε πώς να διαβάσετε την εξίσωση μιας παραβολής και να μάθετε να την μετατοπίζετε κάθετα ή οριζόντια. Ξεκινήστε με τη βασική παραβολή: y = x2 Το Αυτό έχει την κορυφή του στο (0, 0) και ανοίγει προς τα πάνω. Τα σημεία σε αυτό περιλαμβάνουν (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) και (2, 4). Μπορείτε να μετατοπίσετε μια παραβολή με βάση την εξίσωση της.
Βήμα 1. Μετακινήστε μια παραβολή προς τα πάνω
Θεωρήστε την εξίσωση y = x2 +1. Αυτό μετατοπίζει την αρχική παραβολή προς τα πάνω 1 μονάδα. Η κορυφή είναι τώρα (0, 1) αντί για (0, 0). Θα διατηρήσει το ακριβές σχήμα της αρχικής παραβολής, αλλά κάθε συντεταγμένη y θα μετατοπιστεί προς τα πάνω κατά 1 μονάδα. Έτσι, αντί για (-1, 1) και (1, 1), σχεδιάζουμε (-1, 2) και (1, 2).
Βήμα 2. Μετακινήστε μια παραβολή προς τα κάτω
Πάρτε την εξίσωση y = x2 -1. Μετατοπίζουμε την αρχική παραβολή προς τα κάτω κατά 1 μονάδα, έτσι ώστε η κορυφή να είναι τώρα (0, -1) αντί για (0, 0). Θα εξακολουθεί να έχει το ίδιο σχήμα με την αρχική παραβολή, αλλά κάθε συντεταγμένη y θα μετατοπιστεί προς τα κάτω κατά 1 μονάδα. Έτσι, αντί για (-1, 1) και (1, 1), για παράδειγμα, σχεδιάζουμε (-1, 0) και (1, 0).
Βήμα 3. Μετακινήστε μια παραβολή προς τα αριστερά
Εξετάστε την εξίσωση y = (x + 1)2Το Αυτό μετατοπίζει την αρχική παραβολή μία μονάδα προς τα αριστερά. Η κορυφή είναι τώρα (-1, 0) αντί για (0, 0). Διατηρεί το σχήμα της αρχικής παραβολής, αλλά κάθε συντεταγμένη x μετατοπίζεται προς τα αριστερά κατά μία μονάδα. Αντί για (-1, 1) και (1, 1), για παράδειγμα, σχεδιάζουμε (2, 1) και (0, 1).
Βήμα 4. Μετακινήστε μια παραβολή προς τα δεξιά
Εξετάστε την εξίσωση y = (x - 1)2Το Αυτή είναι η αρχική παραβολή που μετατοπίστηκε μία μονάδα προς τα δεξιά. Η κορυφή είναι τώρα (1, 0) αντί για (0, 0). Διατηρεί το σχήμα της αρχικής παραβολής, αλλά κάθε συντεταγμένη x θα μετατοπιστεί στη δεξιά μονάδα. Αντί για (-1, 1) και (1, 1), για παράδειγμα, σχεδιάζουμε (0, 1) και (2, 1).
