Μια ορθολογική συνάρτηση είναι μια εξίσωση που παίρνει τη μορφή y = N (x)/D (x) όπου N και D είναι πολυώνυμα. Η προσπάθεια σχεδίασης ενός ακριβούς γραφήματος με το ένα μπορεί να είναι μια ολοκληρωμένη ανασκόπηση πολλών από τα σημαντικότερα μαθηματικά θέματα λυκείου από τη βασική άλγεβρα έως τον διαφορικό υπολογισμό. Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Βήματα
Βήμα 1. Βρείτε την υποκλοπή y
Ορίστε απλά x = 0. Όλα εκτός από τους σταθερούς όρους εξαφανίζονται, αφήνοντας y = 5/2. Η έκφραση αυτού ως ζεύγος συντεταγμένων, (0, 5/2) είναι ένα σημείο στο γράφημα. Γράψτε αυτό το σημείο.
Βήμα 2. Βρείτε το οριζόντιο ασύμπτωτο
Διαχωρίστε μακρά τον παρονομαστή στον αριθμητή για να καθορίσετε τη συμπεριφορά του y για μεγάλες απόλυτες τιμές του x. Σε αυτό το παράδειγμα, η διαίρεση δείχνει ότι y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Για μεγάλες θετικές ή αρνητικές τιμές του x, το 17/(8 x + 4) πλησιάζει το μηδέν και το γράφημα προσεγγίζει τη γραμμή y = (1/2) x - (7/4). Χρησιμοποιώντας μια διακεκομμένη ή ελαφρώς τραβηγμένη γραμμή, γράψτε τη γραμμή αυτή.
- Εάν ο βαθμός του αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του παρονομαστή, δεν υπάρχει διαίρεση να γίνει και το ασύμπτωτο είναι y = 0.
- Εάν deg (N) = deg (D), το ασύμπτωτο είναι μια οριζόντια γραμμή στην αναλογία των κορυφαίων συντελεστών.
- Αν deg (N) = deg (D) + 1, το ασύμπτωτο είναι μια γραμμή της οποίας η κλίση είναι ο λόγος των κορυφαίων συντελεστών.
- Αν deg (N)> deg (D) + 1, τότε για μεγάλες τιμές | x |, y πηγαίνει γρήγορα στο θετικό ή αρνητικό άπειρο ως τετραγωνικό, κυβικό ή πολυωνύμιο υψηλότερου βαθμού. Σε αυτή την περίπτωση, μάλλον δεν αξίζει τον κόπο να γράψουμε με ακρίβεια το πηλίκο της διαίρεσης.
Βήμα 3. Βρείτε τα μηδενικά
Μια λογική συνάρτηση έχει μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν, οπότε ορίστε N (x) = 0. Στο παράδειγμα, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Το διακριτικό αυτού του τετραγώνου είναι b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Δεδομένου ότι το διακριτικό είναι αρνητικό, το N (x), και κατά συνέπεια το f (x), δεν έχει πραγματικές ρίζες. Το γράφημα δεν διασχίζει ποτέ την άξονα x. Εάν βρέθηκαν μηδενικά, προσθέστε αυτά τα σημεία στο γράφημα.
Βήμα 4. Βρείτε τις κάθετες ασύμπτωτες
Ένα κάθετο ασύμπτωτο εμφανίζεται όταν ο παρονομαστής είναι μηδέν. Η ρύθμιση 4 x + 2 = 0 δίνει την κατακόρυφη γραμμή x = -1/2. Γράψτε κάθε κάθετο ασύμπτωτο με μια ελαφριά ή διακεκομμένη γραμμή. Εάν κάποια τιμή του x κάνει τόσο N (x) = 0 όσο και D (x) = 0, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει κάθετο ασύμπτωτο εκεί. Αυτό είναι σπάνιο, αλλά δείτε τις συμβουλές για το πώς να το αντιμετωπίσετε εάν συμβεί.
Βήμα 5. Κοιτάξτε το υπόλοιπο της διαίρεσης στο βήμα 2
Πότε είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό; Στο παράδειγμα, ο αριθμητής του υπολοίπου είναι 17, ο οποίος είναι πάντα θετικός. Ο παρονομαστής, 4 x + 2, είναι θετικός στα δεξιά του κάθετου ασύμπτωτου και αρνητικός στα αριστερά. Αυτό σημαίνει ότι το γράφημα προσεγγίζει το γραμμικό ασύμπτωτο από τα παραπάνω για μεγάλες θετικές τιμές του x και από κάτω για μεγάλες αρνητικές τιμές του x. Δεδομένου ότι το 17/(8 x + 4) δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν, αυτό το γράφημα δεν τέμνει ποτέ τη γραμμή y = (1/2) x - (7/4). Μην προσθέσετε τίποτα στο γράφημα αυτή τη στιγμή, αλλά σημειώστε αυτά τα συμπεράσματα για αργότερα.
Βήμα 6. Βρείτε τα τοπικά άκρα
Ένα τοπικό άκρο μπορεί να εμφανιστεί όποτε N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Στο παράδειγμα, N '(x) = 4 x - 6 και D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Επέκταση, συνδυασμός όρων και διαίρεση με 4 φύλλα x 2 + x - 4 = 0. Ο τετραγωνικός τύπος δείχνει ρίζες κοντά σε x = 3/2 και x = -5/2. (Αυτά διαφέρουν κατά περίπου 0,06 από τις ακριβείς τιμές, αλλά το γράφημα μας δεν θα είναι αρκετά ακριβές για να ανησυχείτε για αυτό το επίπεδο λεπτομέρειας. Η επιλογή μιας αξιοπρεπούς ορθολογικής προσέγγισης κάνει το επόμενο βήμα πιο εύκολο.)
Βήμα 7. Βρείτε τις τιμές y για κάθε τοπικό άκρο
Συνδέστε ξανά τις τιμές x -x από το προηγούμενο βήμα στην αρχική λογική συνάρτηση για να βρείτε τις αντίστοιχες τιμές y. Στο παράδειγμα, f (3/2) = 1/16 και f (-5/2) = -65/16. Προσθέστε αυτά τα σημεία, (3/2, 1/16) και (-5/2, -65/16), στο γράφημα. Δεδομένου ότι προσεγγίσαμε στο προηγούμενο βήμα, αυτά δεν είναι τα ακριβή ελάχιστα και μέγιστα, αλλά είναι πιθανώς κοντά. (Γνωρίζουμε ότι (3/2, 1/16) είναι πολύ κοντά στο τοπικό ελάχιστο. Από το βήμα 3, γνωρίζουμε ότι το y είναι πάντα θετικό όταν x> -1/2 και βρήκαμε μια τιμή τόσο μικρή όσο 1/16, τουλάχιστον σε αυτή την περίπτωση, το σφάλμα είναι πιθανώς μικρότερο από το πάχος της γραμμής.)
Βήμα 8. Συνδέστε τις τελείες και απλώστε ομαλά το γράφημα από τα γνωστά σημεία στα ασύμπτωτα φροντίζοντας να τα προσεγγίσετε από τη σωστή κατεύθυνση
Προσέξτε να μην διασχίσετε την άξονα x εκτός από τα σημεία που βρίσκονται ήδη στο βήμα 3. Μην διασχίσετε το οριζόντιο ή γραμμικό ασύμπτωτο εκτός από τα σημεία που έχουν ήδη βρεθεί στο βήμα 5. Μην αλλάξετε από κλίση προς τα πάνω σε κλίση προς τα κάτω, εκτός από το ακραίο που βρέθηκε στο προηγούμενο βήμα.
Βίντεο - Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία, ορισμένες πληροφορίες ενδέχεται να κοινοποιηθούν στο YouTube
Συμβουλές
- Ορισμένα από αυτά τα βήματα ενδέχεται να περιλαμβάνουν επίλυση πολυωνύμου υψηλού βαθμού. Εάν δεν μπορείτε να βρείτε ακριβείς λύσεις μέσω παραγοντοποίησης, τύπων ή άλλων μέσων, τότε εκτιμήστε τις λύσεις χρησιμοποιώντας αριθμητικές τεχνικές όπως η μέθοδος του Νεύτωνα.
- Εάν ακολουθήσετε τα βήματα με τη σειρά, συνήθως δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε δεύτερες δοκιμές παραγώγων ή παρόμοιες δυνητικά περίπλοκες μεθόδους για να προσδιορίσετε εάν οι κρίσιμες τιμές είναι τοπικά μέγιστα, τοπικά ελάχιστα ή κανένα από τα δύο. Προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες από προηγούμενα βήματα και λίγη λογική πρώτα.
- Εάν προσπαθείτε να το κάνετε αυτό μόνο με μεθόδους προακρυϊκού λογισμού, μπορείτε να αντικαταστήσετε τα βήματα σχετικά με την εύρεση των τοπικών ακραίων υπολογισμών υπολογίζοντας πολλά πρόσθετα (x, y) διατεταγμένα ζεύγη μεταξύ κάθε ζεύγους ασυμπτωτών. Εναλλακτικά, αν δεν σας ενδιαφέρει γιατί λειτουργεί, δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο ένας μαθητής του προκλιμακίου δεν μπορεί να πάρει το παράγωγο ενός πολυωνύμου και να λύσει το Ν '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
Σε σπάνιες περιπτώσεις, ο αριθμητής και ο παρονομαστής μπορεί να έχουν έναν κοινό μη σταθερό παράγοντα. Εάν ακολουθείτε τα βήματα, αυτό θα εμφανιστεί ως μηδενικό και κάθετο ασύμπτωτο στο ίδιο σημείο. Αυτό είναι αδύνατο και αυτό που συμβαίνει στην πραγματικότητα είναι ένα από τα ακόλουθα:
- Το μηδέν στο Ν (x) έχει μεγαλύτερη πολλαπλότητα από το μηδέν στο D (x). Η γραφική παράσταση της f (x) πλησιάζει το μηδέν σε αυτό το σημείο, αλλά είναι απροσδιόριστη εκεί. Υποδείξτε αυτό με έναν ανοιχτό κύκλο γύρω από το σημείο.
- Το μηδέν στο Ν (x) και το μηδέν στο D (x) έχουν ίση πολλαπλότητα. Το γράφημα προσεγγίζει κάποιο μη μηδενικό σημείο για αυτήν την τιμή του x, αλλά είναι απροσδιόριστο εκεί. Υποδείξτε ξανά αυτό με έναν ανοιχτό κύκλο.
- Το μηδέν στο Ν (x) έχει μικρότερη πολλαπλότητα από το μηδέν στο D (x). Υπάρχει ένα κάθετο ασύμπτωτο εδώ.
